El cambio fundamental en el paradigma bayesiano radica en el estatus ontológico del parámetro desconocido $\theta$. A diferencia de la estadística frecuentista, que trata a $\theta$ como una constante fija pero desconocida, el enfoque bayesiano lo considera una variable aleatoria. Esto nos permite cuantificar la incertidumbre mediante una medida de probabilidad previa $\Pi$.
Construcción del Modelo Bayesiano
Un modelo bayesiano completo se define por el par $(\{f_{\theta} : \theta \in \Omega\}, \Pi)$. La inferencia bayesiana no es meramente "usar el teorema de Bayes", sino el acto deliberado de añadir una distribución de probabilidad previa al modelo de muestreo como un ingrediente esencial para la inferencia.
El estado total de nuestro conocimiento queda capturado por la distribución conjunta $\pi(\theta) f_{\theta}(s)$. Esta función vincula los datos observados $s$ y el parámetro no observado $\theta$ en un marco probabilístico coherente único.
Enunciados de Probabilidad Directos
En este paradigma, $\theta$ está gobernado por una densidad de probabilidad $\pi(\theta)$. Esto nos permite hacer afirmaciones directas de probabilidad sobre el parámetro, como $P(\theta \in A)$. Esto es lógicamente imposible en un marco frecuentista, donde $\theta$ no tiene distribución y por tanto tales afirmaciones están indefinidas.
Analogía del Mundo Real: Diagnósticos Médicos
En los diagnósticos de una enfermedad rara, la "constante" es si un paciente tiene la enfermedad. En el paradigma bayesiano, tratamos el estado de la enfermedad $(\theta)$ como una variable aleatoria. Si la prevalencia es del 0,1 % (la previa), y una prueba (el modelo $f_{\theta}$) da positivo, no solo miramos la precisión de la prueba; miramos la probabilidad conjunta de tener la enfermedad Y dar positivo para determinar la nueva probabilidad de enfermedad.